微分几何 on Haifei's Home

狄拉克磁单极子——陈类与陈数【更高更妙的电动力学·4】

hfwang132@gmail.com (hfwang132) — Sun, 30 Mar 2025 01:13:18 +0800

本系列上一篇文章：

Godfly：电磁场不只是电场和磁场——AB效应与Berry联络【更高更妙的电动力学·3】

在上篇文章中，我们说到，如果流形是拓扑平凡的，那么对 Berry 曲率在闭合曲面 $\Sigma$ 上积分应该得到零。这是因为根据 Stokes 定理，有：

电磁场不只是电场和磁场——AB效应与Berry联络【更高更妙的电动力学·3】

hfwang132@gmail.com (hfwang132) — Sun, 23 Mar 2025 20:20:44 +0800

本系列上一篇文章：

Godfly：规范场论视角下的电动力学【更高更妙的电动力学·2】

电磁场并非电场和磁场。

换句话说，电磁场并不只是电场和磁场。

微分形式不变性是什么？

hfwang132@gmail.com (hfwang132) — Fri, 21 Mar 2025 22:49:13 +0800

什么是微分形式不变性？

按照教科书上所说，微分形式不变性的意思是：做变量替换，微分等式的形式不变。即：

如果，当 $\mathrm{d}y$ 中的 $y$ 指函数 $y=f(x)$ ，$\mathrm{d}x$ 中的 $x$ 指函数 $\phi(x)=x$ 时，有 $\mathrm{d}y=a\mathrm{d}x$ 成立，也就是 $\mathrm{d}f=a\mathrm{d}\phi$ 成立，

规范场论视角下的电动力学【更高更妙的电动力学·2】

hfwang132@gmail.com (hfwang132) — Mon, 17 Feb 2025 17:15:55 +0800

如果你还没看过上一篇文章，请移步：

微分几何视角下的电动力学【更高更妙的电动力学·1】

这篇文章需要用到很多上一篇文章中的概念，因此请确保你阅读了上一篇文章。

微分几何视角下的电动力学【更高更妙的电动力学·1】

hfwang132@gmail.com (hfwang132) — Fri, 07 Feb 2025 22:55:58 +0800

前言

你可能听说过麦克斯韦方程有很简单的形式：

\[\begin{aligned} \mathrm{d} F&=0 \\ \mathrm{d} \star F &= \mu_0 \star J \end{aligned}\]

又或者是

\[\begin{aligned} \partial_\mu (\star{F})^{\mu \nu}&= 0 \\ \partial_\mu F^{\mu\nu}&= \mu_0 J^\nu \end{aligned}\]

注：严格来说，其中 $\mathrm{d}F=0$ （或者 $\partial_\mu (\star{F})^{\mu \nu}= 0$ ）并不属于电磁场的动力学方程，而是属于电磁场自身结构的一部分。这是因为根据场强的定义 $F=\mathrm{d}A$ 就能得到 $\mathrm{d}F=0$ 。

李导数与协变导数有什么联系？

hfwang132@gmail.com (hfwang132) — Sat, 15 Jul 2023 16:52:03 +0800

一性质上的异同点

李导数 $\mathcal{L}_V$ 和协变导数 $\nabla_V$ 有很多共同点：

$\mathcal{L}_V$ 和 $\nabla_V$ 都保持张量的型号，即都是 $\mathcal{T}^p_q(M)$ 到 $\mathcal{T}^p_q(M)$ 的映射。 $\mathcal{T}^p_q(M)$ 表示 $M$ 上全体 (p, q) 型光滑张量场的集合

特别地，对于 (0,0) 型张量场，也就是标量场 $f\in \mathcal{F}(M)$ ，有 $\mathcal{L}_V f=\nabla_V f=Vf$ 。

一文入门微分几何（物理人版）

hfwang132@gmail.com (hfwang132) — Tue, 16 May 2023 21:27:19 +0800

前言

作为物理人，你很可能听过张量、微分形式、外代数、联络/曲率 … 等等概念的其中一个或者多个。但是你可能像我一样，每次听到这些概念的时候都感觉云里雾里。因此，本文旨在帮助物理人，为这些彼此紧密联系的诸概念进行一个梳理。

对微分形式不变性的理解

hfwang132@gmail.com (hfwang132) — Tue, 16 Feb 2021 14:23:58 +0800

21/03/2025：本文大改

什么是微分形式不变性？

按照教科书上所说，微分形式不变性的意思是：做变量替换，微分等式的形式不变。即：

如果，当 $\mathrm{d}y$ 中的 $y$ 指函数 $y=f(x)$ ，$\mathrm{d}x$ 中的 $x$ 指函数 $\phi(x)=x$ 时，有 $\mathrm{d}y=a\mathrm{d}x$ 成立，也就是 $\mathrm{d}f=a\mathrm{d}\phi$ 成立，

什么是微分？

hfwang132@gmail.com (hfwang132) — Mon, 15 Feb 2021 21:44:54 +0800

一微分是无穷小？

物理人喜欢把微分看做是一个很小的量，这在计算时总是很方便的，但是给人一种不严谨的感觉。

实际上，它确实不严谨，第二次数学危机就是因此产生的。

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狄拉克磁单极子——陈类与陈数【更高更妙的电动力学·4】

电磁场不只是电场和磁场——AB效应与Berry联络【更高更妙的电动力学·3】

微分形式不变性是什么？

什么是微分形式不变性？

规范场论视角下的电动力学【更高更妙的电动力学·2】

微分几何视角下的电动力学【更高更妙的电动力学·1】

前言

李导数与协变导数有什么联系？

一 性质上的异同点

一文入门微分几何（物理人版）

前言

对微分形式不变性的理解

什么是微分形式不变性？

什么是微分？

一 微分是无穷小？

一性质上的异同点

一微分是无穷小？