1. 精彩的推理

诺奖得主 Ketterle 在公开课 8.422 中讲经典热光场的 \(g^{(2)}\) 时用了一个非常妙的论证：

根据中心极限定理，电场 \(E\) 服从高斯分布，于是光强 \(I\) 服从指数分布。

1. 前言

在量子力学的早期阶段，拉比为了处理电磁场与原子的相互作用，提出了拉比模型。由于这个模型只量子化了原子，而没有量子化电磁波，因此它虽然能解释众多现象（例如拉比振荡），但不能解释自发辐射这种涉及电磁场量子化的现象。

大部分介绍激光的资料都是以经典或半经典形式推导的。那么激光的全量子理论是什么样的呢？它又有什么用呢？

本文简要介绍激光的 Scully-Lamb 理论，它是一个全量子的理论，由于一般量子光学教材的最后几章才会介绍，加上（半）经典的理论在大部分情况下也很好用，所以熟悉 Scully-Lamb 理论的人并不多。

一般理性告诉我们，实际的位置测量不会产生 delta 函数，因为 delta 函数本身是病态的。那么实际的位置测量的坍缩态应该长什么样呢？

太长不看版：

设待测系统的波函数为 $\varphi(x)$ ，则坍缩后的波函数为：

太长不看版：

“超距且瞬时（超光速）”的相互作用是一种过时的观点。根据狭义相对论，类空距离的事件之间不存在任何相互作用。学界的主流观点是将量子态和测量基矢共同作为 reality，这叫做互文性。非局域性是互文性的一个推论。

本文旨在用简单的物理图像导出这样一个事实：激光器所输出的态是相干态。

考虑一个二能级系统和一个单模光场的相互作用，且光场频率等于能级差。

二能级系统一开始处于激发态 \(|e\rangle\) ，光场处于真空态 \(|0\rangle\) 。

SPDC产生的频率纠缠光，其中的闲置光经过光纤放大器，还与信号光纠缠吗？

我们先用极限思维，考虑两个极限：

极限1：放大器的增益等于1，也就是没有任何增益

前言

1992 年发表在 PRA 上的一篇文章[1]指出，光子也有轨道角动量（OAM，Orbital Angular Momentum）。与自旋角动量（即偏振，SAM，Spin Angular Momentum）只能取 \(\pm \hbar\) 相比，轨道角动量可以取 \(\hbar\) 的任意整数倍。这样的轨道角动量可以由螺旋形状的波前所携带。

产生湮灭算符的定义动机很简单，完全可以从经典力学中得到。

想想我们是怎么解经典谐振子的。由于位置和动量是耦合起来的：

$\begin{cases} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = \omega p \\ \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t} = -\omega x \end{cases}$

即

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \begin{bmatrix} x \\ p \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & \omega \\ -\omega & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ p \end{bmatrix}$

很多物理工作者向大众科普量子纠缠的时候都会举一个例子：

想象你有两个盒子，其中一个放了披萨，另一个放了汉堡，在打开盒子之前无法知道其中是什么。Alice 和 Bob 一人拿走一个盒子，并且走到相距很远的地方。此时 Alice 打开盒子就能知道遥远彼端的 Bob 的盒子里有什么。

一、量子计量学介绍

所谓量子计量学（Quantum Metrology），就是利用量子物态的量子性质进行精密测量的学问。

之所以要研究量子计量学，是因为任何物理量的测量精度都由量子力学中的海森堡不确定性原理所限制，这叫做海森堡极限（Heisenberg Limit）。如何逼近以及提升这个极限，就是量子计量学的目标。

Quantum State Tomography（量子态层析）

Quantum state tomography（量子态层析）就是根据【对量子态系综的测量结果】反推【量子态】的过程。它的 formulation 非常简单，具体如下：

一个波包可以对应一个光子

例：一个光子可以处于不同频率的相干叠加态中： \(|\psi\rangle=\sum_{k}c_k|k\rangle,\quad \sum_k|c_k|^2=1\) ，此时该光子可以表现为一个波包。

你可以想象一个原子退激发产生一个光子，这个光子当然会表现为一个波包。

光子有时空表象下的波函数：

$\Psi(\mathbf{r},t)=\langle \mathbf{r},t|\psi\rangle=\langle 0 |E^{+}(\mathbf{r},t)|\psi\rangle$

其中 $\begin{aligned} |\mathbf{r},t\rangle = E^{-}(\mathbf{r},t) |0\rangle = \sum_{\mathbf{k},\lambda} \sqrt{\frac{\hbar \omega}{2 \epsilon_0 V}} e^{\mathrm{i}(\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}-\omega_{\mathbf{k}} t)} a^\dag_{\mathbf{k},\lambda} |0\rangle \end{aligned}$ 。

直观来看，就是让场算符 $E^{-}(\mathbf{r},t)$ 在时空点 $(\mathbf{r},t)$ 处创造一个态 $|\mathbf{r},t\rangle$ ，再求这个态和 $|\psi\rangle$ 之间的 overlap。

Baker-Campbell-Hausdorff 公式 可以用来计算海森堡表象下的算符演化：

$e^X Y e^{-X}=Y+[X,Y]+\frac{1}{2!}[X,[X,Y]]+\frac{1}{3!}[X,[X,[X,Y]]]+\cdots$

这个公式其实只是 BCH 公式的小弟

因为海森堡表象下的算符演化规则是 $A\rightarrow UAU^{\dag}$ ，其中 $U$ 是酉演化算符。

如果 $U$ 由 $H$ 生成，那么就是 $A\rightarrow e^{\frac{t}{i\hbar}H}Ae^{-\frac{t}{i\hbar}H}$ 了。

在经典力学中，复数只是一个用来简化计算的数学技巧。

在量子力学中，复数不再只是一个数学技巧，而是有一定的物理意义。考虑经典矢势：

$\begin{aligned} \mathbf{A}(\mathbf{r},t)=\sum_{\mathbf{k}\lambda} \left( A_{\mathbf{k}\lambda}e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega_{\mathbf{k}}t)} + \text{c.c.}\right)\mathbf{e}_{\mathbf{k}\lambda} \end{aligned}$

其中 $\mathbf{k}$ 和 $\lambda$ 分别代表空间模式和偏振模式

上篇我们说了在 HBT 实验中，用非光子数分辨的单光子探测器测量量子二阶关联函数的原理。

【量光实验杂谈·一】单光子探测器测二阶关联函数（g2）的原理

HBT 实验

做量光实验的小伙伴一定知道 HBT 实验可以用来测二阶关联函数 g2，即将一束光用 50:50 的分束器分成两束，再分别用两个探测器探测，并统计两边光强的关联随延迟的变化，如下图所示：

投影测量

传统意义上的（Von Neumann 意义上的）测量是一系列投影算符。对可观测量所对应的自伴算子进行谱分解 \(O=\sum_i\lambda_i |\varphi_i\rangle\langle\varphi_i|\) ，即可得到这些投影算符 \(|\varphi_i\rangle\langle\varphi_i|\) 。这一部分学过初等量子力学的同学都很熟悉。

一、纯态与混合态

要想搞明白纯态和混合态，首先就必须搞明白密度算子（density operator），或密度矩阵（density matrix）。

1.1密度算子是啥？

当我第一次看到密度算子的时候，我觉得它非常神奇。因为它是将一个态与自己的对偶做张量积：