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规范场的联络 vs 广义相对论的联络【更高更妙的电动力学·番外篇 1】

hfwang132@gmail.com (hfwang132) — Tue, 29 Jul 2025 15:08:10 +0800

在前面的文章中，我们说电磁场是联络。这让很多同学想到广义相对论里的联络。这两种联络有什么区别和共同点？

电磁场联络 $A$ 是主丛上的联络，而广义相对论联络 $\Gamma$ 是矢量丛上的联络，它们的定义方式看似很不同。有没有办法将它们联系起来呢？

自旋为什么不是相对论效应

hfwang132@gmail.com (hfwang132) — Wed, 09 Jul 2025 19:23:54 +0800

结论：整数自旋是经典效应，而半整数自旋是量子效应，跟相对论关系不大。

原因很简单：1-自旋是 SO(3) 的最小的忠实（faithful）表示，而 1/2-自旋是 SU(2) 的最小的忠实表示。

克氏符到底是不是张量？

hfwang132@gmail.com (hfwang132) — Sun, 27 Apr 2025 23:12:31 +0800

个人最喜欢的理解是把 $\Gamma$ 看成标架丛上的联络，这样一来，克氏符的变换规则

$\boxed{ \begin{aligned} \bar{\Gamma}^i_{\mu j} = \frac{\partial \bar{x}^i}{\partial x^k}\frac{\partial x^l}{\partial \bar{x}^j} \frac{\partial x^\nu}{\partial \bar{x}^\mu} \Gamma^k_{\nu l} \color{red}{ + \frac{\partial \bar{x}^i}{\partial x^k} \frac{\partial^2 x^k}{\partial x^\mu \partial \bar{x}^j}} \end{aligned} }$

就只不过是一个规范变换：

从量子场论到腔量子电动力学【更高更妙的电动力学·6】

hfwang132@gmail.com (hfwang132) — Sun, 13 Apr 2025 01:52:37 +0800

在本篇文章中，我们将从 QED 的拉氏量出发：

\[\begin{aligned} \mathcal{L}= \bar{\psi}(\mathrm{i}\gamma^\mu \partial_\mu -m)\psi - eA_\mu \bar{\psi} \gamma^\mu \psi -\frac{1}{4} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} \end{aligned} \]

这个拉氏量非常复杂：它不仅考虑了电子的反粒子——正电子，并且耦合项 $- eA_\mu \bar{\psi} \gamma^\mu \psi$ 还是一个三次项，可以描述电子-正电子对产生/湮灭等多种过程。由于三次项的存在，这个拉氏量没有解析解，只能用量子场论的微扰法求解。

狄拉克磁单极子——陈类与陈数【更高更妙的电动力学·4】

hfwang132@gmail.com (hfwang132) — Sun, 30 Mar 2025 01:13:18 +0800

本系列上一篇文章：

Godfly：电磁场不只是电场和磁场——AB效应与Berry联络【更高更妙的电动力学·3】

在上篇文章中，我们说到，如果流形是拓扑平凡的，那么对 Berry 曲率在闭合曲面 $\Sigma$ 上积分应该得到零。这是因为根据 Stokes 定理，有：

电磁场不只是电场和磁场——AB效应与Berry联络【更高更妙的电动力学·3】

hfwang132@gmail.com (hfwang132) — Sun, 23 Mar 2025 20:20:44 +0800

本系列上一篇文章：

Godfly：规范场论视角下的电动力学【更高更妙的电动力学·2】

电磁场并非电场和磁场。

换句话说，电磁场并不只是电场和磁场。

哈密顿力学视角下的电动力学【更高更妙的电动力学·5】

hfwang132@gmail.com (hfwang132) — Sat, 22 Mar 2025 23:16:56 +0800

本系列上一篇文章：

Godfly：狄拉克磁单极子——陈类与陈数【更高更妙的电动力学·4】

在之前的文章中，我们说到了电磁场和狄拉克场的哈密顿量：

微分形式不变性是什么？

hfwang132@gmail.com (hfwang132) — Fri, 21 Mar 2025 22:49:13 +0800

什么是微分形式不变性？

按照教科书上所说，微分形式不变性的意思是：做变量替换，微分等式的形式不变。即：

如果，当 $\mathrm{d}y$ 中的 $y$ 指函数 $y=f(x)$ ，$\mathrm{d}x$ 中的 $x$ 指函数 $\phi(x)=x$ 时，有 $\mathrm{d}y=a\mathrm{d}x$ 成立，也就是 $\mathrm{d}f=a\mathrm{d}\phi$ 成立，

规范场论视角下的电动力学【更高更妙的电动力学·2】

hfwang132@gmail.com (hfwang132) — Mon, 17 Feb 2025 17:15:55 +0800

如果你还没看过上一篇文章，请移步：

微分几何视角下的电动力学【更高更妙的电动力学·1】

这篇文章需要用到很多上一篇文章中的概念，因此请确保你阅读了上一篇文章。

微分几何视角下的电动力学【更高更妙的电动力学·1】

hfwang132@gmail.com (hfwang132) — Fri, 07 Feb 2025 22:55:58 +0800

前言

你可能听说过麦克斯韦方程有很简单的形式：

\[\begin{aligned} \mathrm{d} F&=0 \\ \mathrm{d} \star F &= \mu_0 \star J \end{aligned}\]

又或者是

\[\begin{aligned} \partial_\mu (\star{F})^{\mu \nu}&= 0 \\ \partial_\mu F^{\mu\nu}&= \mu_0 J^\nu \end{aligned}\]

注：严格来说，其中 $\mathrm{d}F=0$ （或者 $\partial_\mu (\star{F})^{\mu \nu}= 0$ ）并不属于电磁场的动力学方程，而是属于电磁场自身结构的一部分。这是因为根据场强的定义 $F=\mathrm{d}A$ 就能得到 $\mathrm{d}F=0$ 。

量子态/算符的 Weyl 和 Wigner 表示

hfwang132@gmail.com (hfwang132) — Tue, 08 Oct 2024 11:36:44 +0800

前言

在经典力学中，物理量是相空间上的一个函数，系统状态是相空间上的一个点（对于系综而言则是相空间上的一个概率分布）。这一套语言量子化之后，就得到了量子态/算符的相空间表示，也就是 Wigner 表示。Weyl 表示则是它的傅里叶变换。

直积、直和、笛卡尔积、张量积的区别是什么

hfwang132@gmail.com (hfwang132) — Mon, 16 Sep 2024 21:03:02 +0800

小朋友们好，今天我们来学习什么是笛卡尔积。我们把世界上所有上衣的集合叫做 $a$ ，世界上所有下着的集合叫做 $b$ ，那么 $a$ 和 $b$ 的笛卡尔积 $a \times b$ 是什么呢？就是所有可能的上下衣装搭配的集合啦（当然，不包括帽子、鞋子、首饰等等）。

BCH 公式 - 量子力学爆算的大杀器

hfwang132@gmail.com (hfwang132) — Thu, 07 Mar 2024 16:13:09 +0800

Baker-Campbell-Hausdorff 公式 可以用来计算海森堡表象下的算符演化：

$e^X Y e^{-X}=Y+[X,Y]+\frac{1}{2!}[X,[X,Y]]+\frac{1}{3!}[X,[X,[X,Y]]]+\cdots$

这个公式其实只是 BCH 公式的小弟

因为海森堡表象下的算符演化规则是 $A\rightarrow UAU^{\dag}$ ，其中 $U$ 是酉演化算符。

如果 $U$ 由 $H$ 生成，那么就是 $A\rightarrow e^{\frac{t}{i\hbar}H}Ae^{-\frac{t}{i\hbar}H}$ 了。

李导数与协变导数有什么联系？

hfwang132@gmail.com (hfwang132) — Sat, 15 Jul 2023 16:52:03 +0800

一性质上的异同点

李导数 $\mathcal{L}_V$ 和协变导数 $\nabla_V$ 有很多共同点：

$\mathcal{L}_V$ 和 $\nabla_V$ 都保持张量的型号，即都是 $\mathcal{T}^p_q(M)$ 到 $\mathcal{T}^p_q(M)$ 的映射。 $\mathcal{T}^p_q(M)$ 表示 $M$ 上全体 (p, q) 型光滑张量场的集合

特别地，对于 (0,0) 型张量场，也就是标量场 $f\in \mathcal{F}(M)$ ，有 $\mathcal{L}_V f=\nabla_V f=Vf$ 。

高维空间中的旋度是什么？

hfwang132@gmail.com (hfwang132) — Fri, 26 May 2023 21:00:37 +0800

微分形式

在介绍旋度之前，我们得先介绍一下微分形式和外微分算子。

一个 n 阶形式可以定义为一个交替多重线性映射 $\omega:(T_pM)^n\rightarrow \mathbb{R}$ 。它把多个向量映射成一个实数。另外，它还满足交替性，即交换两个输入向量，输出多一个负号。

赝矢量到底是什么？

hfwang132@gmail.com (hfwang132) — Fri, 26 May 2023 18:11:03 +0800

我们在物理书中经常看到所谓“赝矢量”（pseudo-vector）和“赝标量”（pseudo-scalar）的说法。

其实，在 3 维流形上，“赝矢量”是两个切矢量的外积 $v\in T_pM\wedge T_pM=\bigwedge^2(T_pM)$ ，“赝标量”是三个切矢量的外积 $s\in T_pM\wedge T_pM\wedge T_pM=\bigwedge^3(T_pM)$ 。

一文入门微分几何（物理人版）

hfwang132@gmail.com (hfwang132) — Tue, 16 May 2023 21:27:19 +0800

前言

作为物理人，你很可能听过张量、微分形式、外代数、联络/曲率 … 等等概念的其中一个或者多个。但是你可能像我一样，每次听到这些概念的时候都感觉云里雾里。因此，本文旨在帮助物理人，为这些彼此紧密联系的诸概念进行一个梳理。

用一道小学数学题，复习群、环、域、模和向量空间

hfwang132@gmail.com (hfwang132) — Thu, 16 Mar 2023 21:54:23 +0800

0. 题目介绍

只用这一道高考模拟题，就可以复习抽象代数的群、环、域、模、向量空间等概念。题目如下图所示：

某地的高考模拟题，其实稍微试一下就能试出来，不难

波包、群速度与色散关系

hfwang132@gmail.com (hfwang132) — Wed, 04 May 2022 15:39:54 +0800

前言

初学物理的时候，对波包和群速度的概念有些困惑。现在回头看来，其实非常简单，只是有些教科书没有讲清楚。本文梳理一下群速度的概念，以及色散关系的几个例子。

性价比极高的公式

hfwang132@gmail.com (hfwang132) — Sat, 01 Jan 2022 19:21:09 +0800

以下的公式能给解题带来极大的方便

一、高斯积分

\[I_n = \int_{0}^{\infty}x^n e^{-b x^2}\mathrm{d}x %= %\left\{\begin{aligned} %\end{aligned}\right. \]

如下是一个方便的记忆方法：

首先记住

\[I_0 = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{b}},\quad I_1 = \frac{1}{2}\frac{1}{b}\]

其次有

矢量乘积法则的简洁证明

hfwang132@gmail.com (hfwang132) — Sat, 27 Feb 2021 00:46:19 +0800

相信第一次学矢量微积分的小伙伴都对矢量的乘积法则非常头疼：

简单难度：

\[\nabla(fg)=f\nabla g+g\nabla f\]\[\nabla\cdot(f\mathrm{A})=f\nabla\cdot\mathrm{A}+\nabla f\cdot \mathrm{A}\]\[\nabla\times(f\mathrm{A})=f\nabla\times\mathrm{A}+\nabla f\times\mathrm{A}\]

困难难度：

\[\nabla\cdot(\mathrm{A}\times\mathrm{B})=\mathrm{B}\cdot(\nabla\times\mathrm{A})-\mathrm{A}\cdot(\nabla\times\mathrm{B})\]

地狱难度：

洛伦兹变换的几何直觉

hfwang132@gmail.com (hfwang132) — Fri, 26 Feb 2021 23:05:45 +0800

你不需要知道任何公式，也能对狭义相对论的各种现象（尺缩钟慢、双生子佯谬等）拥有直观的认识。

对伽利略变换做一点小小的修改

先来看经典的伽利略变换。在t-x图里，伽利略变换体现为剪切变换。点沿着平行于x轴的直线滑动。

公理集合论基础（下）：迈向无穷

hfwang132@gmail.com (hfwang132) — Wed, 24 Feb 2021 22:21:02 +0800

上篇文章的传送门

公理集合论基础（上）：空集和罗素悖论## 创造自然数（ZF3: 对集公理、ZF4: 并集公理）

在上篇文章中，我们成功地定义了一个唯一的集合，叫做空集，并解决了罗素悖论。下面，我们要用空集来建造更多的集合。为此，我们需要更多的构造性公理。

对微分形式不变性的理解

hfwang132@gmail.com (hfwang132) — Tue, 16 Feb 2021 14:23:58 +0800

21/03/2025：本文大改

什么是微分形式不变性？

按照教科书上所说，微分形式不变性的意思是：做变量替换，微分等式的形式不变。即：

如果，当 $\mathrm{d}y$ 中的 $y$ 指函数 $y=f(x)$ ，$\mathrm{d}x$ 中的 $x$ 指函数 $\phi(x)=x$ 时，有 $\mathrm{d}y=a\mathrm{d}x$ 成立，也就是 $\mathrm{d}f=a\mathrm{d}\phi$ 成立，

什么是微分？

hfwang132@gmail.com (hfwang132) — Mon, 15 Feb 2021 21:44:54 +0800

一微分是无穷小？

物理人喜欢把微分看做是一个很小的量，这在计算时总是很方便的，但是给人一种不严谨的感觉。

实际上，它确实不严谨，第二次数学危机就是因此产生的。

公理集合论基础（上）：空集和罗素悖论

hfwang132@gmail.com (hfwang132) — Sat, 23 Jan 2021 17:41:35 +0800

预告

读完本文，你将会了解 ZF 公理集合论的前三个公理——“存在公理”、“外延公理”以及“分离公理模式”，并用它们解决罗素悖论，以及定义空集。

前言

我们常听到“集合论是现代数学的基础”这样的说法。在很多人看来，中学所学的集合论就是一些集合和简单的运算，怎么会是基础呢？要理解这一点，我们必须了解集合论是如何公理化的。

别再被数学系同学鄙视了！物理人做换序操作时需要知道的一致收敛

hfwang132@gmail.com (hfwang132) — Wed, 09 Dec 2020 00:22:44 +0800

前言

每当物理人进行诸如积分号下求导，积分换序等操作的时候，围观的数学人都要坐不住了：

“你这个广义积分/级数是一致收敛的吗？”

物理人回答：

“一致收敛是啥？我们一直都是这么干的”

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规范场的联络 vs 广义相对论的联络【更高更妙的电动力学·番外篇 1】

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微分形式不变性是什么？

什么是微分形式不变性？

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微分几何视角下的电动力学【更高更妙的电动力学·1】

前言

量子态/算符的 Weyl 和 Wigner 表示

前言

直积、直和、笛卡尔积、张量积的区别是什么

BCH 公式 - 量子力学爆算的大杀器

李导数与协变导数有什么联系？

一 性质上的异同点

高维空间中的旋度是什么？

微分形式

赝矢量到底是什么？

一文入门微分几何（物理人版）

前言

用一道小学数学题，复习群、环、域、模和向量空间

0. 题目介绍

波包、群速度与色散关系

前言

性价比极高的公式

一、高斯积分

矢量乘积法则的简洁证明

洛伦兹变换的几何直觉

对伽利略变换做一点小小的修改

公理集合论基础（下）：迈向无穷

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对微分形式不变性的理解

什么是微分形式不变性？

什么是微分？

一 微分是无穷小？

公理集合论基础（上）：空集和罗素悖论

预告

前言

别再被数学系同学鄙视了！物理人做换序操作时需要知道的一致收敛

前言

一性质上的异同点

一微分是无穷小？